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    15．现如今，“网购”一词已不再新鲜，越来越多的人已经接受并喜欢上了这种购物的方式，但随之也产生了商品质量差与信誉不好等问题．因此，相关管理部门制定了针对商品质量和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．
    （1）根据题中数据完成下表，并通过计算说明：能否有99.9%的把握认为，商品好评与服务好评有关？
    对服务好评对服务不满意合计
    对商品好评
    对商品不满意
    合计
    （2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的5次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X：
    ①求对商品和服务全好评的次数X的分布列（概率用组合数算式表示）；
    ②求X的数学期望和方差．
    　P（K2≥k）　0.15　0.10　0.05　0.025　0.010　0.005　0.001
    　k　2.072　2.706　3.841　5.024　6.635　7.879　10.828
    （${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d）

    分析 （1）由题意求出关于商品和服务评价的2×2列联表，从而求出K2≈11.111＞10.828，从而有99.9%的把握认为商品好评与服务好评有关．
    （2）①由X～B（5，$\frac{2}{5}$），能求出X的分布列．
    ②由X～B（5，$\frac{2}{5}$），能求出X的数学期望和方差．

    解答 解：（1）由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表如下：

    对服务好评对服务不满意合计
    对商品好评8040120
    对商品不满意701080
    合计15050200
    ${K^2}=\frac{{200×{{（80×10-40×70）}^2}}}{150×50×120×80}=\frac{100}{9}≈11.111＞10.828$，------（4分）
    因此有99.9%的把握认为商品好评与服务好评有关．------（6分）
    （2）①每次购物时，对商品和服务都好评的概率为$\frac{2}{5}$，
    X的取值可以是0，1，2，3，4，5．且X～B（5，$\frac{2}{5}$），
    $P（X=0）={（\frac{3}{5}）^5}$=$\frac{243}{3125}$，
    $P（X=1）=C_5^1（\frac{2}{5}）{（\frac{3}{5}）^4}$=$\frac{810}{3125}$，
    $P（X=2）=C_5^2{（\frac{2}{5}）^2}{（\frac{3}{5}）^3}$=$\frac{1080}{3125}$，
    $P（X=3）=C_5^3{（\frac{2}{5}）^3}{（\frac{3}{5}）^2}$=$\frac{720}{3125}$，
    $P（X=4）=C_5^4{（\frac{2}{5}）^4}{（\frac{3}{5}）^1}$=$\frac{240}{3125}$，
    $P（X=5）={（\frac{2}{5}）^5}$=$\frac{32}{3125}$．
    ∴X的分布列为：
    X012345
    P$\frac{243}{3125}$$\frac{810}{3125}$$\frac{1081}{3125}$$\frac{720}{3125}$$\frac{240}{3125}$$\frac{32}{3125}$
    --------（10分）
    ②∵X～B（5，$\frac{2}{5}$），
    ∴$E（X）=5×\frac{2}{5}=2$，
    $D（X）=5×\frac{2}{5}×（1-\frac{2}{5}）=\frac{6}{5}$．--------（12分）

    点评 本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望、方差的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．

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    附：${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$
    P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001
    k2.0722.0763.8415.0246.6357.87910.828

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