Question

【题目】已知椭圆方程为，其右焦点与抛物线的焦点重合，过且垂直于抛物线对称轴的直线与椭圆交于、两点，与抛物线交于、两点．

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线l与(1)中椭圆相交于,两点, 直线, ,的斜率分别为,, (其中)，且,,成等比数列；设的面积为, 以、为直径的圆的面积分别为, , 求的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

(1)由题意可得，，即得，结合可得椭圆方程；（2）设直线的方程为，将直线方程与椭圆方程联立，写出韦达定理，由，，成等比数列，可解得k值，然后分别求出S,,写出的表达式，利用基本不等式可得取值范围.

（1）由抛物线方程得，椭圆方程为，过F垂直于抛物线对称轴的直线与椭圆交于M,N两点，可得，与抛物线交于C,D两点可得， ， ， ，

所以椭圆方程为 .

(2)设直线的方程为，

由可得 ，

由韦达定理：，

∵，，构成等比数列， ，

即

由韦达定理代入化简得：，∵ ，．

此时，即．

又由三点不共线得，从而．

故

∵，，，

则

为定值．

，

当且仅当即时等号成立．

综上：的取值范围是．