Question

已知动圆C经过点(0,1)，且在x轴截得的弦长为2，记该圆圆心的轨迹为E.

(1)求曲线E的方程；

(2)过点M的直线m交曲线E于A，B两点，过A，B两点分别作曲线E的切线，两切线交于点C，当△ABC的面积为2时，求直线m的方程．

Answer 1

解析：(1)设圆C的圆心坐标为(x，y)，则其半径r＝.

依题意，r²－y²＝1，即x²＋(y－1)²－y²＝1，

整理得曲线E的方程为x²＝2y.

(2)设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则y₁＝x，y₂＝x.

设直线m方程为y＝kx＋，代入曲线E方程，得

x²－2kx－1＝0，则x₁＋x₂＝2k.

对y＝x²求导，得y′＝x.

于是过点A的切线为y＝x₁(x－x₁)＋x，即y＝x₁x－x.①

由①同理得过点B的切线为y＝x₂x－x.②

设C(x₀，y₀)，由①、②及直线m方程得

x₀＝＝k，y₀＝x₁x₀－x＝－.

M为抛物线的焦点，y＝－为抛物线的准线，由抛物线的定义，得

|AB|＝y₁＋＋y₂＋＝k(x₁＋x₂)＋2＝2(k²＋1)．

点C到直线m的距离d＝＝.

所以△ABC的面积S＝|AB|·d＝(k²＋1) .

由已知(k²＋1) ＝2，有且仅有k＝±1.

故直线m的方程为y＝±x＋.