Question

在等比数列{a_n}中，a₁＝2，且a_n＋1＝a_n＋2ⁿ.

(1)求数列{a_n}的通项a_n；

(2)数列{a_n}中是否存在这样的两项a_p，a_q(p<q)，使得a_p＋a_q＝2 014？若存在，求符合条件的所有的p，q；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：(1)a₂＝a₁＋2¹，

a₃＝a₂＋2²，

…

a_n＝a_n－1＋2^n－1(n≥2)．

各式相加，可得

a_n＝a₁＋2¹＋2²＋…＋2^n－1＝2＋＝2ⁿ(n≥2)．

又a₁＝2＝2¹，

∴a_n＝2ⁿ.

(2)假设存在这样的两项a_p，a_q(p<q)满足条件，则

当q>p≥2时，a_p＋a_q＝2^p＋2^q＝2^p(1＋2^q－p)是4的倍数，但2 014不是4的倍数．

当p＝1时，2 014＝a_p＋a_q＝2¹＋2^q，故2^q＝2 012.

∵不存在正整数q使2^q＝2 012，

∴不存在满足条件的p，q.