Question

18．△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$，则下列结论错误的是（　　）

• A． |$\overrightarrow{b}$|=1
• B． （$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{b}$
• C． $\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=1
• D． |$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由已知可得$\overrightarrow{b}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$，然后逐一验证四个选项得答案．

解答 解：∵△ABC是边长为2的等边三角形，且$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$，
∴$2\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}$，则$|\overrightarrow{b}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{BC}|=1$，A正确；
∵（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}{|}^{2}=\overrightarrow{AB}•\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}+1$=$\frac{1}{2}×2×2×cos120°+1=0$，
∴（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{b}$，故B正确；
$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0-|\overrightarrow{b}{|}^{2}=-1$，故C错误；
$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）^{2}}=\sqrt{|\overrightarrow{a}{|}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}{|}^{2}}$
=$\sqrt{4+2×2×1×cos120°+1}$=$\sqrt{3}$，故D正确．
故选：C．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了数学转化思想方法，是中档题．