Question

17．在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，F为DC的中点，若$\overrightarrow{AC}$=λ$\overrightarrow{AE}$+μ$\overrightarrow{BF}$，则λ+μ的值为$\frac{8}{5}$．

Answer 1

分析 可画出图形，根据向量加法和数乘的几何意义、相等向量的概念便可得到$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{BF}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$，进行向量的数乘运算便可由$\overrightarrow{AC}=λ\overrightarrow{AE}+μ\overrightarrow{BF}$得出$\overrightarrow{AC}=（λ-\frac{1}{2}μ）\overrightarrow{AB}+（\frac{1}{2}λ+μ）\overrightarrow{AD}$，而$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$，从而由平面向量基本定理即可建立关于λ，μ的方程组，解出λ，μ便可得出λ+μ的值．

解答 解：如图，$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CF}$=$-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$；
∴$\overrightarrow{AC}=λ（\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}）+μ（-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}）$=$（λ-\frac{1}{2}μ）\overrightarrow{AB}+（\frac{1}{2}λ+μ）\overrightarrow{AD}$；
又$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{λ-\frac{1}{2}μ=1}\\{\frac{1}{2}λ+μ=1}\end{array}\right.$；
解得$λ=\frac{6}{5}，μ=\frac{2}{5}$；
∴$λ+μ=\frac{8}{5}$．
故答案为：$\frac{8}{5}$．

点评 考查向量加法、向量数乘的几何意义，以及相等向量的概念，向量的数乘运算，向量加法的平行四边形法则，平面向量基本定理．