Question

4．命题“?x∈R，ax²-2ax+3≤0恒成立”是假命题，则实数a的取值范围是[0，3）．

Answer 1

分析 若命题“?x∈R，ax²-2ax+3≤0恒成立”是假命题，则命题“?x∈R，ax²-2ax+3＞0恒成立”是真命题，分当a=0时和当a≠0时两种情况，求出满足条件的a的范围，综合讨论结果，可得答案．

解答 解：若命题“?x∈R，ax²-2ax+3≤0恒成立”是假命题，
则命题“?x∈R，ax²-2ax+3＞0恒成立”是真命题，
当a=0时，显然成立；
当a≠0时，ax²-2ax+3＞0恒成立须满足$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\ 4{a}^{2}-12a＜0\end{array}\right.$，
解得：0＜a＜3，
综上所述满足条件的实数a的取值范围是[0，3），
故答案为：[0，3）

点评 本题考查的知识点是特称命题的否定，不等式恒成立问题，是逻辑与不等式的综合应用，难度中档．