Question

9．为考察某药物预防疾病的效果，用小白鼠进行动物试验，得到如表的列联表：

	患病	未患病	总计
服用药	21	30	51
没服用药	8	26	34
总计	29	56	85

（Ⅰ）根据上表数据，能否以90%的把握认为药物有效？
（Ⅱ）用分层抽样方法从“服用药”和“没服用药”两类小白鼠中随机抽取一个容量为5的样本，再从该样本中任取2只，求其中恰有1只小白鼠服用药物的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出K²≈2.8626＞2.706，从而得到能以90%的把握认为药物有效．
（Ⅱ）用分层抽样的方法在总体中抽取一个容量为5的样本，应抽取服用药的小白鼠数为3只，应抽取没服用药的小白鼠数为2只，由此利用列举法能求出恰有1只小白鼠服用药物的概率．

解答 解：（Ⅰ）∵K²=$\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$=$\frac{{85（21×26-8×30{）^2}}}{51×34×29×56}≈2.826＞2.706$
∴能以90%的把握认为药物有效…（5分）（上式每个“等号”各（1分）；判断1分）
（Ⅱ）用分层抽样的方法在总体中抽取一个容量为5的样本，
则应抽取服用药的小白鼠数为$\frac{5}{85}×51=3$（只），设为a，b，c，
应抽取没服用药的小白鼠数为5-3=2（只），设为m，n…（7分）
从该样本中任取2只，基本事件为ab，ac，am，an，bc，bm，bn，cm，cn，mn，总数有10个…（9分）
设其中恰有1只小白鼠服用药物为事件A，
则A包含的基本事件为am，an，bm，bn，cm，cn，共有6个…（10分）
∴其中恰有1只小白鼠服用药物的概率$P（A）=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$…（11分）
答：其中恰有1只小白鼠服用药物的概率为$\frac{3}{5}$…（12分）

点评 本题考查独立检验的应用，考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．