Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的过点（0，1），且离心率等于

2

2

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设O为坐标原点，椭圆C与直线y=kx+1相交于两个不同的点A，B，求△OAB面积的最大值．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）通过椭圆的离心率以及b，求出a，即可求解椭圆C的方程；
（Ⅱ）利用弦长公式求出|AB|以及原点到直线的距离，表示出三角形OAB面积利用换元法以及函数的单调性求出面积的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）因为已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的过点（0，1），
∴b=1，
又∵椭圆的离心率等于

2

2

，
∴b=c，
∴a=

2

．
∴椭圆C的标准方程为：

x2

2

+y2=1
（Ⅱ）设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），
将y=kx+1，代入

x2

2

+y2=1中，
得（

1

2

+k²）x²+2kx=0，
当k≠0时，△＞0，且x₁=0，x₂=-

2k

1 2 +k2

，
所以|AB|=

1+k2

•

|2k|

1 2 +k2

，
原点到直线y=kx+1的距离d=

1

1+k2

S_△AOB=

1

2

|AB|•d=|

k

1 2 +k2

|=|

1

1 2k +k

|≤

1

2 1 2k •k

=

2

2

∴S_△AOB的最大值为

2

2

．

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系及三角形面积的运算，考查学生的运算变形能力，考查学生分析解决问题的能力．