Question

有一个圆锥的侧面展开图是一个半径为5、圆心角为

6π

5

的扇形，在这个圆锥中内接一个高为x的圆柱．
（1）求圆锥的体积；
（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大？

Answer 1

考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）利用侧面展开图中心角公式求得圆锥的底面圆半径，再利用勾股定理求得圆锥的高，代入圆锥的体积公式计算；
（2）根据轴截面图，设圆柱的底面半径为R，可得

3-R

3

=

x

4

，求出内接圆柱的底面圆半径，计算圆柱的侧面积，利用基本不等式，即可得出结论．

解答： 解：（1）∵圆锥侧面展开图的半径为5，
∴圆锥的母线长为5．
设圆锥的底面半径为r，
则2πr=

216×π×5

180

，解得r=3，
∴圆锥的高为4．
∴圆锥的体积V=

1

3

π×32×4=12π；
（2）设圆柱的底面半径为R，则

3-R

3

=

x

4

，∴R=3-

3

4

x，
∴圆柱的侧面积为2π（3-

3

4

x）x=

3

2

π（4-x）x≤

3

2

π×(

4-x+x

2

)2=6π，
当且仅当4-x=x，即x=2时，圆柱的侧面积最大．

点评：本题考查了圆锥的侧面展开图及侧面展开图中心角公式，考查了圆锥与圆柱的体积公式，解题的关键是利用比例关系求得内接圆柱的底面圆半径．