【题目】如图在四面体中,
是边长为2的等边三角形,
为直角三角形,其中
为直角顶点,
.
分别是线段
上的动点,且四边形
为平行四边形.
(1)求证:平面
,
平面
;
(2)试探究当二面角从0°增加到90°的过程中,线段
在平面
上的投影所扫过的平面区域的面积;
(3)设,且
为等腰三角形,当
为何值时,多面体
的体积恰好为
?
【答案】(1)见解析 (2) (3)
【解析】
(1)先通过线面平行的判定定理,证得平面
,通过线面平行的性质定理,证得
,由此证得
平面
;同理证得
平面
.
(2)画出为
、
时
的投影,由此判断出线段
在平面
上的投影所扫过的平面区域,进而求得区域的面积.
(3)先求得三棱锥的面积为
,通过分割的方法,得到
,分别求得
与
的关系式,再由
列方程,解方程求得
的值.
(1)∵四边形为平行四边形,
∴.而
面
,
面
,
∴面
.而
面
,面
面
,
∴∥
.而
面
,
面
,
∴∥平面
.同理,
∥平面
;
(2)∵,
∴在平面
上的投影满足
,即
在线段
的中垂线上.
如图所示,将补成边长为
的正
,
当二面角为
角时,即点
在平面
上,此时
为
,
当二面角为
角时,此时
为
中点
,
故在平面
上的投影所扫过的平面区域为
,而
,
故线段在平面
上的投影所扫过的平面区域的面积为
;
(3)∵,
,且
为等腰三角形,∴
.
取中点
,易得:
,
,
,
满足:,根据勾股定理可知
.
∴平面
.∴
.
而多面体的体积恰好为
,即多面体
的体积恰为四面体
体积的一半.
连接.
,∴
.
,∴
.
∴,
∴,整理:
,即
,
解得:(
舍去).
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:的右准线方程为x=2,且两焦点与短轴的一个顶点构成等腰直角三角形.
(1)求椭圆C的方程;
(2)假设直线l:与椭圆C交于A,B两点.①若A为椭圆的上顶点,M为线段AB中点,连接OM并延长交椭圆C于N,并且
,求OB的长;②若原点O到直线l的距离为1,并且
,当
时,求△OAB的面积S的范围.
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【题目】将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的
,纵坐标不变,再向右平移
个单位长度,得到函数
的图象,则下列说法正确的是( )
A. 函数的一条对称轴是
B. 函数的一个对称中心是
C. 函数的一条对称轴是
D. 函数的一个对称中心是
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【题目】曾玉、刘云、李梦、张熙四人被北京大学、清华大学、武汉大学和复旦大学录取,他们分别被哪个学校录取,同学们做了如下的猜想
甲同学猜:曾玉被武汉大学录取,李梦被复旦大学录取
同学乙猜:刘云被清华大学录取,张熙被北京大学录取
同学丙猜:曾玉被复旦大学录取,李梦被清华大学录取
同学丁猜:刘云被清华大学录取,张熙被武汉大学录取
结果,恰好有三位同学的猜想各对了一半,还有一位同学的猜想都不对
那么曾玉、刘云、李梦、张熙四人被录取的大小可能是( )
A.北京大学、清华大学、复旦大学、武汉大学
B.武汉大学、清华大学、复旦大学、北京大学
C.清华大学、北京大学、武汉大学 、复旦大学
D.武汉大学、复旦大学、清华大学、北京大学
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【题目】给出下列命题:
①命题“若,则方程
无实根”的否命题;
②命题“在中,
,那么
为等边三角形”的逆命题;
③命题“若,则
”的逆否命题;
④“若,则
的解集为
”的逆命题;
其中真命题的序号为( )
A.①②③④B.①②④C.②④D.①②③
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【题目】设函数,
,给定下列命题:
①若方程有两个不同的实数根,则
;
②若方程恰好只有一个实数根,则
;
③若,总有
恒成立,则
;
④若函数有两个极值点,则实数
.
则正确命题的个数为( )
A. B.
C.
D.
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【题目】已知圆C经过点,
两点,且圆心C在直线
上.
(1)求圆C的方程;
(2)设,对圆C上任意一点P,在直线MC上是否存在与点M不重合的点N,使
是常数,若存在,求出点N坐标;若不存在,说明理由.
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