Question

【题目】已知函数f（x）=x+lg +x）的定义域是R．
（1）判断f（x）在R上的单调性，并证明；
（2）若不等式f（m3x）+f（3x﹣9x﹣4）＜0对任意x∈R恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为函数f（x）的定义域为R，对于函数f（x）定义域内的每一个x，都有

f（﹣x）=﹣x+lg（ ）=﹣x+lg =﹣f（x），．

所以，函数f（x）=x+lg +x）是奇函数．

设x1，x2是（0，+∞）上任意两个实数，且x1＜x2，则

f（x1）﹣f（x2）=（x1﹣x2）+lg ．．

由x1＜x2，

得x1﹣x2＜0，lg ＜1．

于是f（x1）﹣f（x2）＜0，

即f（x1）＜f（x2）=（．

所以函数在（0，+∞）上是增函数，且f（x）＞0，、f（0）=0，

根据奇函数的性质可得f（x）在R上的单调递增

（2）解：f（m3x）+f（3x﹣9x﹣4）＜0 等价于 m3x＜﹣3x+9x+4，

即 m＜3x ﹣3

令t=3x，设函数g（t）=t+ ﹣3．

由函数g（t）的单调性可知最小值为1，

∴m＜1．

∴实数m的取值范围（﹣∞，1）

【解析】（1）判断函数的奇偶性，再证明x＞0的单调性，得出整个单调性；（2）利用函数的奇偶性和单调性对不等式进行转化，把恒成立问题转化为最值问题．
【考点精析】本题主要考查了函数单调性的判断方法的相关知识点，需要掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较才能正确解答此题．