Question

设函数f(x)＝log₄(4^x＋1)＋ax(a∈R)：

(1)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，求a的值；

(2)若不等式f(x)＋f(－x)≥mt＋m对任意x∈R，t∈[－2，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

解　(1)由函数f(x)是定义在R上的偶函数，

则f(x)＝f(－x)恒成立，

即log₄(4^x＋1)＋ax＝log₄(4^－x＋1)－ax.

所以

所以(2a＋1)x＝0恒成立，则2a＋1＝0，

故a＝－.

(2)f(x)＋f(－x)

＝log₄(4^x＋1)＋ax＋log₄(4^－x＋1)－ax

＝log₄(4^x＋1)＋log₄(4^－x＋1)

＝log₄(4^x＋1)·(4^－x＋1)

＝log₄(2＋4^x＋4^－x)≥log₄(2＋2)＝1.

所以mt＋m≤1对任意t∈[－2,1]恒成立，

令h(t)＝mt＋m，

由解得－1≤m≤，

故实数m的取值范围是