Question

如图，抛物线E：y²＝4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为A.点C在抛物线E上，以C为圆心，|CO|为半径作圆，设圆C与准线l交于不同的两点M，N.

(1)若点C的纵坐标为2，求|MN|；

(2)若|AF|²＝|AM|·|AN|，求圆C的半径．

Answer 1

　(1)抛物线y²＝4x的准线l的方程为x＝－1.

由点C的纵坐标为2，得点C的坐标为(1,2)，

所以点C到准线l的距离d＝2，又|CO|＝.

所以|MN|＝＝2.

(2)设C(，y₀)，则圆C的方程为(x－)²＋(y－y₀)²＝＋y，

即x²－x＋y²－2y₀y＝0.

由x＝－1，得y²－2y₀y＋1＋＝0，

设M(－1，y₁)，N(－1，y₂)，则

由|AF|²＝|AM|·|AN|，得|y₁y₂|＝4，

所以＋1＝4，解得y₀＝±，此时Δ>0.

所以圆心C的坐标为(，)或(，－)，

从而|CO|²＝，|CO|＝，即圆C的半径为.