Question

18．集合A，B满足条件A∩B≠∅，A∪B={1，2，3，4，5}，当A≠B时，我们将（A，B）和（B，A）视为两个不同的集合对，则满足条件的集合对（A，B）共有211个．

Answer 1

分析 A∪B={1，2，3，4，5}，可得A，B均为集合{1，2，3，4，5}的子集．由A∩B≠∅，可得A，B不为∅．对集合A（B）分类讨论即可得出．

解答 解：∵A∪B={1，2，3，4，5}，
∴A，B均为集合{1，2，3，4，5}的子集．
由A∩B≠∅，可得A，B不为∅．
①当A为一元集时，不妨令A={1}，则B={1，2，3，4，5}，
此时对子（A，B）有${∁}_{5}^{1}$=5个；
②当A为二元集时，不妨令A={1，2}，则B={1，2，3，4，5}，或B={2，3，4，5}，或B={1，3，4，5}，
此时对子（A，B）有${∁}_{5}^{2}$×3=30个；
③当A为三元集时，不妨令A={1，2，3}，则B={1，2，3，4，5}，或B={1，2，4，5}，或B={1，3，4，5}，或B={2，3，4，5}，或B={1，4，5}，或B={2，4，5}，或B={3，4，5}．
此时对子（A，B）有${∁}_{5}^{3}$×7=70个；
④当A为四元集时，A={1，2，3，4}，则B={1，2，3，4，5}，或B={1，2，3，5}，或B={1，2，4，5}，或B={1，3，4，5}，或B={2，3，4，5}，或B={1，2，5}，或B={1，4，5}，或B={2，4，5}，或B={3，4，5}，或B={1，3，5}，或B={2，3，5}，或B={1，5}，或B={4，5}，或B={3，5}，或B={2，5}，或B={5}，
此时对子（A，B）有${∁}_{5}^{4}$×15=75个；
⑤当A为五元集时，A={1，2，3，4，5}，B的个数为2⁵-1=31个．
综上满足条件A∪B={1，2，3，4}的不同对子（A，B）有5+30+70+75+31=211个．
故答案为：211．

点评 本题考查了集合的运算性质、组合数的计算公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．