Question

17．设函数f（x）=ax²+（b-2）x+3（a≠0），f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x-1
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）设g（x）=f（x）-mx，若对任意的x₁，x₂∈[1，2]，都有|g（x₁）-g（x₂）|≤2成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用待定系数法即可求出函数的解析式；
（Ⅱ）对任意的x₁，x₂∈[1，2]，都有|g（x₁）-g（x₂）|≤2成立，转化为g（x）_max-g（x）_min≤2，分类讨论，根据二次函数的性质，分别求出最大值和最小值，得到关于m的不等式，解得即可．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=ax²+（b-2）x+3（a≠0），f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x-1，
∴a（x+1）²+（b-2）（x+1）+3-ax²-（b-2）x-3=2x-1，
即2ax+a+b-2=2x-1，
∴2a=2且a+b-2=-1，
解得a=1，b=0，
∴f（x）=x²-2x+3，
（Ⅱ）∵对任意的x₁，x₂∈[1，2]，都有|g（x₁）-g（x₂）|≤2成立，
∴g（x）_max-g（x）_min≤2，
∵g（x）=f（x）-mx=x²-（m+2）x+3，
∴对称轴为x=$\frac{m+2}{2}$，
①当$\frac{m+2}{2}$≤1时，即m≤0时，函数g（x）在[1，2]上单调递增，
∴g（x）_max=f（2）=3-2m，g（x）_min=f（1）=2-m，
∴3-2m-（2-m）≤2，
解得-1≤m≤0，
②当$\frac{m+2}{2}$≥2时，即m≥2时，函数g（x）在[1，2]上单调递减，
∴g（x）_min=f（2）=3-2m，g（x）_max=f（1）=2-m，
∴2-m-（3-2m）≤2，
解得2≤m≤3，
③当1＜$\frac{m+2}{2}$＜$\frac{3}{2}$时，即0＜m＜1时，函数f（x）在[1，$\frac{m+2}{2}$）为减函数，在（$\frac{m+2}{2}$，2]为增函数，
∴g（x）_min=f（$\frac{m+2}{2}$）=3-$\frac{1}{4}$（m+2）²，g（x）_max=f（2）=3-2m，
∴3-2m-[3-$\frac{1}{4}$（m+2）²]≤2，
解得2-2$\sqrt{2}$≤m≤2+2$\sqrt{2}$，
此时0＜m＜1，
④当$\frac{3}{2}$≤$\frac{m+2}{2}$＜2时，即1≤m＜2时，函数f（x）在[1，$\frac{m+2}{2}$）为减函数，在（$\frac{m+2}{2}$，2]为增函数，
∴g（x）_min=f（$\frac{m+2}{2}$）=3-$\frac{1}{4}$（m+2）²，g（x）_max=f（1）=2-m，
∴2-m-[3-$\frac{1}{4}$（m+2）²]≤2，
解得-2$\sqrt{2}$≤m≤2$\sqrt{2}$，
此时1≤m＜2，
综上所述m的取值范围为[-1，3]

点评 本题考查了二次函数解析式的求法和二次函数最值，以及不等式恒成立的问题，关键是分类讨论，属于中档题．