Question

9．设正数a，b满足：a+4b=2，则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的最小值为$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 由题意可得$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$=$\frac{1}{2}$（a+4b）（$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$）=$\frac{1}{2}$（5+$\frac{4b}{a}$+$\frac{a}{b}$），由基本不等式可得．

解答 解：∵正数a，b满足a+4b=2，
∴$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$=$\frac{1}{2}$（a+4b）（$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$）
=$\frac{1}{2}$（5+$\frac{4b}{a}$+$\frac{a}{b}$）≥$\frac{1}{2}$（5+2$\sqrt{\frac{4b}{a}•\frac{a}{b}}$）=$\frac{9}{2}$，
当且仅当$\frac{4b}{a}$=$\frac{a}{b}$即a=$\frac{2}{3}$且b=$\frac{1}{3}$时取等号，
∴所求的最小值为$\frac{9}{2}$，
故答案为：$\frac{9}{2}$

点评 本题考查基本不等式求最值，属基础题．