已知
是等差数列，首项
，前
项和为
.令
,
的前
项和
.数列
是公比为
的等比数列，前项和为
，且
，
.
（1）求数列、
的通项公式；
（2）证明：
.
(1) 
，
；(2)见解析.
解析试题分析：(1)首先设等差数列的公差为
，由已知建立的方程，求得
，写出等差数列的通项公式；进一步确定等比数列的公比，求得等比数列的通项公式.
(2)求得
，将不等式加以转化成
，
即证：
.注意到这是与自然数有关的不等式证明问题，故考虑应用数学归纳法.
很明显
时，
，因此用数学归纳法证明：当
时，
.
试题解析：(1)设等差数列的公差为，因为
所以
则
则
解得，所以
4分
所以
，
所以 6分
(2)由(1)知，
要证
，
只需证
即证： 8分
当时，
下面用数学归纳法证明：当时，
（1）当
时，左边
，右边
，左
右，不等式成立
（2）假设
，
则
时，
时不等式成立
根据（1）（2）可知：当时，
综上可知：对于
成立
所以 12分
考点：等差数列、等比数列的通项公式及其求和公式，数学归纳法.
快乐5加2金卷系列答案科目：高中数学 来源： 题型：解答题
设数列{an}、{bn}、{cn}满足：bn＝an－an＋2，cn＝an＋2an＋1＋3an＋2(n＝1，2，3，…)，求证：{an}为等差数列的充分必要条件是{cn}为等差数列且bn≤bn＋1(n＝1，2，3，…)．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
(1)已知两个等比数列{an},{bn},满足a1=a(a>0),b1-a1=1,b2-a2=2,b3-a3=3,若数列{an}唯一,求a的值;
(2)是否存在两个等比数列{an},{bn},使得b1-a1,b2-a2,b3-a3,b4-a4成公差不为0的等差数列?若存在,求{an},{bn}的通项公式;若不存在,说明理由.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
在等差数列{an}中,a1=3,其前n项和为Sn,等比数列{bn}的各项均为正数,b1=1,公比为q,且b2+S2=12,q=
.
(1)求an与bn.
(2)证明:
≤
+
+…+
<
.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
等差数列{an}的首项为a1,公差d=-1,前n项和为Sn.
(1)若S5=-5,求a1的值.
(2)若Sn≤an对任意正整数n均成立,求a1的取值范围.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
设各项均为正数的数列
的前
项和为
，满足
且
恰好是等比数列
的前三项．
（Ⅰ）求数列、的通项公式；
（Ⅱ）记数列的前项和为
,若对任意的
，
恒成立，求实数
的取值范围．
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的前n项和为
，
，且
成等比数列，当
时，
．
成等差数列；
的前n项和
（常数
），其前
项和为
（
）
的首项
，并判断
的前n项和，求证：
的前
项和为
.
，数列
的和.