Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，PD=AD=

1

2

AB=a，点E、F分别为PA、PC的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面ABCD； 
（Ⅱ）求四棱锥P-ABCD的表面积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）连结AC，由已知得EF∥AC，由此能证明EF∥平面ABCD．
（Ⅱ）由已知得PA⊥AB，PC⊥BC，从而四棱锥P-ABCD的表面积：S=AB•BC+

1

2

PD•AD+

1

2

PD•DC+

1

2

PA•AB+

1

2

PC•BC，由此能求出结果．

解答： （Ⅰ）证明：连结AC，
∵点E、F分别为PA、PC的中点，
∴EF∥AC，
∵EF不包含于平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD．
（Ⅱ）解：∵在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，
底面ABCD为矩形，PD=AD=

1

2

AB=a，
∴PA⊥AB，PC⊥BC，
∴四棱锥P-ABCD的表面积：
S=AB•BC+

1

2

PD•AD+

1

2

PD•DC+

1

2

PA•AB+

1

2

PC•BC
=2a²+

1

2

a2+a²+

2

a2+

5

2

a2
=(

7

2

+

2

+

5

2

)a2．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查四棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．