Question

11．已知点（8，3），（-3，6）在函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}x，x＞0}\\{{b}^{x}-2，x≤0}\end{array}\right.$的图象上
（1）求函数f（x）的解析式
（2）求不等式f（x）＞0的解集．

Answer 1

分析 （1）分别代入点（8，3），（-3，6），解方程可得a，b，进而得到f（x）的解析式；
（2）讨论当x＞0时，当x≤0时，由对数不等式和指数不等式的解法，即可得到所求解集．

解答 解：（1）由题意可知，${log_a}8=3，{b^{-3}}-2=6$，
解得$a=2，b=\frac{1}{2}$，
所以函数f（x）的解析式为f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}x，x＞0}\\{（\frac{1}{2}）^{x}-2，x≤0}\end{array}\right.$；
（2）当x＞0时，由log₂x＞0，解得x＞1；
当x≤0时，由${（\frac{1}{2}）^x}-2＞0$，解得x＜-1．
可得不等式f（x）＞0的解集为{x|x＞1或x＜-1}．

点评 本题考查函数的解析式的求法，注意运用待定系数法，考查指数不等式、对数不等式的解法，以及运算能力，属于中档题．