如图.曲线Γ由曲线C1:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1和曲线C2::$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1组成.其中点F1.F2为曲线C1所在圆锥曲线的焦点.点F3.F4为曲线C2所在圆锥曲线的焦点.已知F2(2.0)F4(6.0)．(1)求曲线C1� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

16．

如图，曲线Γ由曲线C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）和曲线C₂：：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0，y≤0）组成，其中点F₁，F₂为曲线C₁所在圆锥曲线的焦点，点F₃，F₄为曲线C₂所在圆锥曲线的焦点，已知F₂（2，0）F₄（6，0）．
（1）求曲线C₁和C₂的方程
（2）如图，作直线l平行于曲线C₂的渐近线，交曲线C₁于点A，B，求证：弦AB的中点M必在曲线C₂的另一条渐近线上．
（3）若直线l₁过点F₄交曲线C₁于点C，D，求△CDF₁面积的最大值．

分析（1）由F₂（2，0），F₄（6，0），可得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+{b}^{2}=36}\\{{a}^{2}-{b}^{2}=4}\end{array}\right.$，解得a，b的值；
（2）曲线C₂的渐近线为y=±$\frac{b}{a}$x，如图，设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），设直线l：y=$\frac{b}{a}$（x-m），与椭圆方程联立化为2x²-2mx+（m²-a²）=0，利用△＞0，根与系数的关系、中点坐标公式，只要证明y₀=-$\frac{b}{a}$x₀即可．
（3）设直线l₁的方程为x=ny+6（n＞0）．与椭圆方程联立可得（5+4n²）y²+48ny+64=0，利用根与系数的关系、弦长公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质即可得出．

解答解：（1）∵F₂（2，0），F₄（6，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+{b}^{2}=36}\\{{a}^{2}-{b}^{2}=4}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=20}\\{{b}^{2}=16}\end{array}\right.$，
则曲线Γ的方程为$\frac{{x}^{2}}{20}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1（y≤0）和$\frac{{x}^{2}}{20}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1（y＞0）；
（2）证明：曲线C₂的渐近线为y=±$\frac{b}{a}$x，如图，
设直线l：y=$\frac{b}{a}$（x-m）
则$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{b}{a}（x-m）}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$⇒2x²-2mx+（m²-a²）=0，
△=（2m）²-4•2•（m²-a²）=8a²-4m²＞0⇒-$\sqrt{2}$a＜m＜$\sqrt{2}$a，
又由数形结合知m≥a，a≤m＜$\sqrt{2}$a，
设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀）
则x₁+x₂=m，x₁x₂=$\frac{{m}^{2}-{a}^{2}}{2}$，
∴x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$m，y₀=$\frac{b}{a}$（x₀-m）=-$\frac{b}{a}$•$\frac{m}{2}$，
∴y₀=-$\frac{b}{a}$x₀，
即弦AB的中点M必在曲线C₂的另一条渐近线y=-$\frac{b}{a}$x上．
（3）由（1）知，曲线C₁为$\frac{{x}^{2}}{20}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1（y≤0），点F₄（6，0）．
设直线l₁的方程为x=ny+6（n＞0）
由$\left\{\begin{array}{l}{x=ny+6}\\{\frac{{x}^{2}}{20}+\frac{{y}^{2}}{16}=1}\end{array}\right.$⇒（4n²+5）y²+48ny+64=0，
△=（48n）²-4×64（4n²+5）＞0⇒n²＞1，
设C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
由韦达定理：y₃+y₄=-$\frac{48n}{5+4{n}^{2}}$，y₃y₄=$\frac{64}{5+4{n}^{2}}$，
|y₃-y₄|=$\sqrt{（{y}_{3}+{y}_{4}）^{2}-4{y}_{3}{y}_{4}}$=16•$\frac{\sqrt{5}\sqrt{{n}^{2}-1}}{5+4{n}^{2}}$．
S${\;}_{△CD{F}_{1}}$=$\frac{1}{2}$|F₁F₄|×|y₃-y₄|=$\frac{1}{2}$×8×16$\sqrt{5}$×$\frac{\sqrt{{n}^{2}-1}}{5+4{n}^{2}}$=64$\sqrt{5}$×$\frac{\sqrt{{n}^{2}-1}}{5+4{n}^{2}}$
令t=$\sqrt{{n}^{2}-1}$＞0，∴n²=t²+1，
S${\;}_{△CD{F}_{1}}$=64$\sqrt{5}$×$\frac{t}{9+4{t}^{2}}$=64$\sqrt{5}$×$\frac{1}{4t+\frac{9}{t}}$，
∵t＞0，∴4t+$\frac{9}{t}$≥12，当且仅当t=$\frac{3}{2}$即n=$\frac{\sqrt{13}}{2}$时等号成立．
∴n=$\frac{\sqrt{13}}{2}$时，△CDF₁面积的最大值为$\frac{16\sqrt{5}}{3}$．

点评本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

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