Question

已知点P（x，y）满足x²-8x+y²-4y+16≤0，则

y

x

的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：将已知条件中不等式x²-8x+y²-4y+16≤0进行化简，得（x-4）²+（y-2）²≤4，则（x，y）表示圆（x-4）²+（y-2）²=4及其内部的点，由

y

x

表示两点（x，y），（0，0）的斜率k，当直线y=kx与圆相切时k取最大最小值．根据圆心到直线的距离等于半径确定

y

x

的最大最小值．

解答： 解：∵不等式x²-8x+y²-4y+16≤0可化简为：（x-4）²+（y-2）²≤4，
则（x，y）表示圆（x-4）²+（y-2）²=4及其内部的点，
∵

y

x

可看做为两点（x，y），（0，0）连线的斜率，
设k=

y

x

，
即kx-y=0，
当直线与圆相切时，k取最大最小值，此时，圆心到直线的距离d=r，
即d=

|4k-2|

k2+1

=2，
解得：k=0，或k=

4

3

，
∴

y

x

的取值范围是[0，

4

3

]．

点评：此题考查了直线与圆相切的性质，涉及的知识有：点到直线的距离公式，直线与圆相切时满足的条件，利用了转化的思想，求出直线与圆相切时斜率的值是解本题的关键．