Question

已知全集U={1，2，3，4，…，n}，集合A满足①A⊆U；②若x∈A，则kx∉A；③若x∈∁_UA，则kx∉∁_UA，（其中k，n∈N^*）；f_k（n）表示满足条件的集合A的个数．
（1）求f₂（4），f₂（5）；
（2）求f₃（2013）；
（3）记集合A的所有元素之和为集合A的“和”，当n=pk+q时，（其中p，q∈N，0≤q＜k），求所有集合A的“和”的和．

Answer 1

考点：集合的包含关系判断及应用,元素与集合关系的判断,补集及其运算

专题：集合

分析：（1）由题意知，当n=4，k=2时，满足条件的集合A有：{1，4}，{1，3，4}，{2}，{2，3}；当n=5时，k=2时，满足条件的集合A有：{1，4}，{1，3，4}，{1，4，5}，{1，3，4，5}，{2}，{2，5}，{2，3}，{2，3，5}．由此能求出f₂（4），f₂（5）．
（2）设B是由U中所有不被3整除的数构成的集合，则f₃（2013）等于B的子集个数，由此能求出f₃（2013）．
（3）由（2），同理可知，当n=pk+q时，fk(n)=2n-p，而U中每个元素在所有集合中出现的次数均相同，都为2^n-p-1，共有2^n-p-1对符合条件的A与C_UA，由此能求出所有集合A的“和”的和．

解答： 解：（1）由题意知，当n=4，k=2时，
满足条件的集合A有：{1，4}，{1，3，4}，{2}，{2，3}，
∴f₂（4）=4．
当n=5时，k=2时，满足条件的集合A有：
{1，4}，{1，3，4}，{1，4，5}，{1，3，4，5}，{2}，{2，5}，{2，3}，{2，3，5}，
∴f₂（5）=8．
（2）当n=2013，k=3时，任取x∈U，则x可以表示为：
x=m•3^t，其中t∈N，m不能被3整除，
由题意知：若m∈A，则x∈A?t为偶数；
若m∉A，则x∈A?t为奇数，
设B是由U中所有不被3整除的数构成的集合，
则f₃（2013）等于B的子集个数，
∴f₃（2013）=2^2013-671=2¹³⁴²．
（3）由（2），同理可知，当n=pk+q时，fk(n)=2n-p，
而U中每个元素在所有集合中出现的次数均相同，都为2^n-p-1，
共有2^n-p-1对符合条件的A与C_UA，
故所有集合A的“和”之和为：
（1+2+3+…+n）×2^n-p-1=n（n+1）•2^n-p-2．

点评：本题考查满足条件的集合的个数的求法，考查所有集合A的“和”的和的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．