Question

已知函数f（x²-1）=log_m

x2

2-x2

（m＞O且m≠1）
（1）求函数f（x）的解析式，并判断奇偶性；
（2）解关于x的方程f（x）=log_m

1

x

；
（3）若m＞1，解关于x的不等式f（x）≥log_m（3x+1）．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）令x²-1=t，可得f（t）=logm

t+1

1-t

．令

t+1

1-t

＞0，求得t的范围，可得f（x）的解析式以及定义域．
（2）解关于x的方程即 logm

x+1

1-x

=log_m

1

x

，可得

-1＜x＜1 1 x ＞0 x+1 1-x = 1 x

．由此求得x的值，即是原方程的解．
（3）m＞1，关于x的不等式即 logm

x+1

1-x

≥log _m（3x+1），根据

x+1

1-x

≥3x+1＞0，求得x的范围．

解答： 解：（1）令x²-1=t，求得 x²=t+1＞0，t＞-1，t+1≠2，f（t）=logm

t+1

1-t

．
令

t+1

1-t

＞0，求得-1＜t＜1，
∴f（x）=logm

x+1

1-x

，（-1＜x＜1）．
∴f（-x）+f（x）=log_m

-x+1

1+x

+log_m

x+1

1-x

=log_m1=0
∴函数f（x）是奇函数．
（2）解关于x的方程f（x）=log_m

1

x

，即 logm

x+1

1-x

=log_m

1

x

，
∴

-1＜x＜1 1 x ＞0 x+1 1-x = 1 x

．
解得x=-1+

2

，即是原方程的解．
（3）m＞1，关于x的不等式f（x）≥log _m（3x+1），即 logm

x+1

1-x

≥log _m（3x+1），
∴

x+1

1-x

≥3x+1＞0，即

3x+1＞0 3x2-x x-1 ≤0

．
解得-

1

3

＜x≤0，或

1

3

≤x＜1，原不等式的解集为（-

1

3

，0]∪[

1

3

，1）．

点评：本题主要考查对数函数的图象和性质综合应用，对数方程、对数不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．