Question

已知函数f（x）=

x+1，x≤0 lo g   2 x，x＞0

，则函数y=f{f（x）}+1的零点个数为

 

．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：分别讨论当-1＜x≤0时，x≤-1时，0＜x＜1时，x＞1时的情况，求出相对应的表达式，从而求出函数的解的个数．

解答： 解：当x≤0时，f（x）=x+1，
当-1＜x≤0时，f（x）=x+1＞0
y=f[f（x）]+1=log₂（x+1）+1=0，
x+1=

1

2

，x=-

1

2

．
当x≤-1时，f（x）=x+1≤0，
y=f[f（x）]+1=f（x）+1+1=x+3=0，
∴x=-3．
当x＞0时，f（x）=log₂x，
y=f[f（x）]+1=log₂[f（x）]+1，
当0＜x＜1时，f（x）=log₂x＜0，
y=f[f（x）]+1=log₂[f（x）]+1=log₂（log₂x+1）+1=0，
∴log2x+1=

1

2

，x=

2

2

；
当x＞1时，f（x）=log₂x＞0，
∴y=f[f（x）]+1=log₂（log₂x）+1=0，
∴log2x=

1

2

，x=

2

．
综上所述，y=f[f（x）]+1的零点是x=-3，或x=-

1

2

，或x=

2

2

，或x=

2

．
故答案为：4．

点评：本题考查了函数的零点问题，考查复合函数的解析式的求解，考查分类讨论思想，是一道中档题．