Question

某中学高二共有四个班级，在推选校学生会干部8个名额时，高二（1）班的张老师认为“三顾茅庐”、“举一反三”等成语中“三”是一个吉祥数，因此他坚决要求他班的干部名额或是“3”的倍数或者不要，而其它班的班主任认为可要可不要，则其名额共有

 

种不同分法．

Answer 1

考点：计数原理的应用

专题：排列组合

分析：根据已知可得高二（1）班可能有：0个名额，3个名额或6个名额，分类讨论满足条件的分法数目，最后综合讨论结果，可答案．

解答： 解：①如果高二（1）班有0个名额，那么其他3个班分8个名额，
分到1个班，则有：

C

1 3

=3种分法；
分到2个班，名额分配方案有：1+7，2+6，3+5，4+4四种方案，
则有：

C

2 3

•（3×2+1）=21种分法；
分到3个班，名额分配方案有：1+1+6，1+2+5，1+3+4，2+2+4，2+3+3五种方案，
则有：3×

C

1 3

+2×

A

3 3

=21种分法；
综上，此时有：21+21+3=45种分法；
②如果高二（1）班有3个名额，那么其他3个班分5个名额，
分到1个班，则有：

C

1 3

=3种分法；
分到2个班，名额分配方案有：1+4，2+3两种方案，
则有：

C

2 3

•（2×2）=12种分法；
分到3个班，名额分配方案有：1+1+3，1+2+2，两种方案，
则有：2×

C

1 3

=6种分法；
综上，此时有：3+12+6=21种分法；
③如果高二（1）班有6个名额，那么其他3个班分2个名额，
分到1个班，则有：

C

1 3

=3种分法；
分到2个班，

C

2 3

=3种分法；
综上，此时有：3+3=6种分法；
综上所述，共有45+21+6=72种不同分法，
故答案为：72

点评：本题考查排列、组合的运用，解题时要区分排列与组合，对其能灵活运用．