Question

10．设函数f（x）=$\frac{{x}^{2}}{2}$-alnx
（1）求函数y=f（x）的单调区间和极值；
（2）若函数f（x）在区间（1，e²]内恰有两个零点，试求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间和极值即可；
（2）通过讨论a的范围，若满足f（x）在区间（1，e²]内恰有两个零点，需满足$\left\{\begin{array}{l}{1＜\sqrt{a}{＜e}^{2}}\\{f（\sqrt{a}）＜0}\\{f（1）＞0}\\{f{（e}^{2}）≥0}\end{array}\right.$，解出即可．

解答 解：（1）由f（x）=$\frac{{x}^{2}}{2}$-alnx，得f′（x）=x-$\frac{a}{x}$=$\frac{{x}^{2}-a}{x}$（x＞0），
①当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，函数无极大值，也无极小值；
②当a＞0时，由f′（x）=0，得x=$\sqrt{a}$或x=-$\sqrt{a}$（舍去）．
于是，当x变化时，f′（x）与f（x）的变化情况如下表：

x	（0，$\sqrt{a}$）	$\sqrt{a}$	（$\sqrt{a}$，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	递减	$\frac{a（1-lna）}{2}$	递增

所以函数f（x）的单调递减区间是（0，$\sqrt{a}$），单调递增区间是（$\sqrt{a}$，+∞）．
函数f（x）在x=$\sqrt{a}$处取得极小值f（$\sqrt{a}$）=$\frac{a（1-lna）}{2}$，无极大值．
综上可知，当a≤0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），函数既无极大值也无极小值；
当a＞0时，函数f（x）的单调递减区间是（0，$\sqrt{a}$），单调递增区间为（$\sqrt{a}$，+∞），
函数f（x）有极小值$\frac{a（1-lna）}{2}$，无极大值．
（2）当a≤0时，由（1）知函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，
故函数f（x）在区间（1，e²]上至多有一个零点，不合题意．
当a＞0时，由（1）知，当x∈（0，$\sqrt{a}$）时，函数f（x）单调递减；
当x∈（$\sqrt{a}$，+∞）时，函数f（x）单调递增，
所以函数f（x）在（0，+∞）上的最小值为f（$\sqrt{a}$）=$\frac{a（1-lna）}{2}$．
若函数f（x）在区间（1，e²]内恰有两个零点，
则需满足$\left\{\begin{array}{l}{1＜\sqrt{a}{＜e}^{2}}\\{f（\sqrt{a}）＜0}\\{f（1）＞0}\\{f{（e}^{2}）≥0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{1＜a{＜e}^{4}}\\{\frac{a（1-lna）}{2}＜0}\\{\frac{1}{2}＞0}\\{\frac{{e}^{4}}{2}-2a≥0}\end{array}\right.$整理得$\left\{\begin{array}{l}{1＜a{＜e}^{4}}\\{a＞e}\\{a≤\frac{{e}^{4}}{4}}\end{array}\right.$，所以e＜a≤$\frac{{e}^{4}}{4}$．
故所求a的取值范围为（e，$\frac{{e}^{4}}{4}$]．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．