Question

17．若直线l过抛物线x²=-8y的焦点F，且与双曲线$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{3}=1$在一、三象限的渐近线平行，则直线l截圆${（{x-4\sqrt{3}}）^2}+{y^2}=4$所得的弦长为2．

Answer 1

分析 求出抛物线的焦点和双曲线的渐近线方程，求得直线l的方程，求出圆心到直线的距离，运用弦长公式即可得到弦长．

解答 解：抛物线x²=-8y的焦点F为（0，-2），
双曲线双曲线$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{3}=1$在一三象限的渐近线为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
则直线l的方程为：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-2，
圆（x-4$\sqrt{3}$）²+y²=4的圆心为（4$\sqrt{3}$，0），半径为2，
则圆心到直线的距离d=$\frac{|\frac{\sqrt{3}}{3}×4\sqrt{3}-2|}{\sqrt{1+\frac{1}{3}}}$=$\sqrt{3}$，
则弦长为2$\sqrt{4-3}$=2，
故答案为：2．

点评 本题考查抛物线的方程和性质，双曲线的性质：渐近线，考查直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离，弦长公式等，属于中档题．