Question

12．在△ABC中，已知$\overrightarrow{AC}$=（cos$\frac{x}{2}$+sin$\frac{x}{2}$，-sin$\frac{x}{2}$），$\overrightarrow{BC}$=（cos$\frac{x}{2}$-sin$\frac{x}{2}$，2cos$\frac{x}{2}$）．
（Ⅰ）设f（x）=$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$，求f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（Ⅱ）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]，函数f（x）是否有最小值，求△ABC面积；若没有，请说明理由．

Answer 1

分析 （I）根据平面向量的数量积公式和二倍角公式花间f（x），利用余弦函数的性质得出f（x）的周期和单调区间；
（II）根据x的范围得出f（x）的单调性，从而得出f（x）的最值及其对应的x的值，利用向量法求出AC，BC，∠ACB，代入面积公式即可求出三角形的面积．

解答 解：（I）f（x）=cos²$\frac{x}{2}$-sin²$\frac{x}{2}$-2sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$=cosx-sinx=$\sqrt{2}$cos（x+$\frac{π}{4}$），
∴f（x）的最小正周期为T=2π．
令2kπ≤x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+π，解得-$\frac{π}{4}$+2kπ≤x≤$\frac{3π}{4}$+2kπ，
∴f（x）的单调递减区间是[-$\frac{π}{4}$+2kπ，$\frac{3π}{4}$+2kπ]．k∈Z．
（II）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
∴当x+$\frac{π}{4}$=$\frac{3π}{4}$即x=$\frac{π}{2}$时，f（x）取得最小值$\sqrt{2}×$（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=-1．
此时，$\overrightarrow{AC}$=（$\sqrt{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），$\overrightarrow{BC}$=（0，$\sqrt{2}$），
∴|$\overline{AC}$|=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，|$\overrightarrow{BC}$|=$\sqrt{2}$，
∴cos＜$\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{BC}$＞=$\frac{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{BC}|}$=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴sin∠ACB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×|AC|×|BC|×sin∠ACB$=1．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，三角函数的图象与性质，属于中档题．