Question

19．已知曲线y=lnx与曲线y=ax-$\frac{a}{x}$有三个交点，则实数a的取值范围为（0，$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 若曲线y=lnx与曲线y=ax-$\frac{a}{x}$有三个交点，则f（x）=lnx-ax+$\frac{a}{x}$有三个零点，故f′（x）=0有两个正根，且f′（1）＞0，进而得到答案．

解答 解：令f（x）=lnx-ax+$\frac{a}{x}$，
则f′（x）=$\frac{-{ax}^{2}+x-a}{{x}^{2}}$，
若曲线y=lnx与曲线y=ax-$\frac{a}{x}$有三个交点，
则f（x）=lnx-ax+$\frac{a}{x}$有三个零点，
当x=1时，f（1）=0，f′（1）=1-2a，
故f′（x）=0有两个正根，且f′（1）＞0，
则$\left\{\begin{array}{l}1-4{a}^{2}＞0\\ \frac{1}{a}＞0\\ 1-2a＞0\end{array}\right.$
解得：a∈（0，$\frac{1}{2}$），
故答案为：（0，$\frac{1}{2}$）

点评 本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，对数函数的图象和性质，难度中档．