Question

14．如图，已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，圆O：x²+y²=1，其中M，N是椭圆C上的两个动点，P是圆O上一个动点．
（1）当直线MN过椭圆的左焦点且与圆O相切时，求直线MN的方程；
（2）当|MN|=2$\sqrt{2}$时，求点P到直线MN距离的最大值．

Answer 1

分析 （1）求得椭圆的左焦点，设出直线MN的方程，运用直线和圆相切的条件：d=r，可得斜率，进而得到所求直线方程；
（2）设直线MN：y=kx+m，代入椭圆方程，消去y，运用韦达定理和弦长公式，再由点到直线的距离公式，化简整理，结合圆上的点到直线的距离的最大值为d+r，即可得到所求最大值．

解答 解：（1）椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1的左焦点为（-2，0），
设直线MN的方程为y=k（x+2），
由直线和圆相切的条件，可得
d=$\frac{|2k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，
解得k=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即有直线MN的方程为y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+2）；
（2）设直线MN：y=kx+m，
代入椭圆方程，可得（1+3k²）x²+6kmx+3m²-6=0，
△=36k²m²-4（1+3k²）（3m²-6）＞0，
x₁+x₂=-$\frac{6km}{1+3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{3{m}^{2}-6}{1+3{k}^{2}}$，
由弦长公式可得|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{36{k}^{2}{m}^{2}}{（1+3{k}^{2}）^{2}}-\frac{12{m}^{2}-24}{1+3{k}^{2}}}$=2$\sqrt{2}$，
化简可得m²=$\frac{4（1+3{k}^{2}）}{3（1+{k}^{2}）}$，
由原点到直线的距离为d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
可得d²=$\frac{{m}^{2}}{1+{k}^{2}}$=$\frac{4（1+3{k}^{2}）}{3（1+{k}^{2}）^{2}}$，
令1+3k²=t（t≥1），即有k²=$\frac{t-1}{3}$，
可得d²=$\frac{4t}{3•\frac{（t+2）^{2}}{9}}$=$\frac{12}{t+\frac{4}{t}+4}$≤$\frac{12}{2\sqrt{t•\frac{4}{t}}+4}$=$\frac{3}{2}$，
当且仅当t=2即k=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$时，d的最大值为$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
可得点P到直线MN距离的最大值为$\frac{\sqrt{6}}{2}$+1．

点评 本题考查椭圆的方程的运用，考查直线方程的求法，注意运用直线和圆相切的条件：d=r，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，同时考查点到直线的距离公式，以及基本不等式的运用：求最值，属于中档题．