Question

定义域为的函数，其导函数为．若对，均有，则称函数为上的梦想函数．
（Ⅰ）已知函数，试判断是否为其定义域上的梦想函数，并说明理由；
（Ⅱ）已知函数（，）为其定义域上的梦想函数，求的取值范围；
（Ⅲ）已知函数（，）为其定义域上的梦想函数，求的最大整数值．

Answer 1

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）的取值范围是；（Ⅲ）的最大整数值为．

试题分析：（Ⅰ）根据题中“梦想函数”的定义判断函数是否为“梦想函数”；（Ⅱ）根据“梦想函数”的定义结合参数分离法将问题转化型的恒成立问题，等价转化为去处理，但需定义域的开闭对参数的取值范围的影响；（Ⅲ）根据“梦想函数”的定义结合参数分离法转化为恒成立问题处理，在转化的过程中，若两边同时除以，注意对的取值符号分正负以及进行讨论，从而得出参数的取值范围，进而确定的最大整数值.
试题解析：（Ⅰ）函数不是其定义域上的梦想函数．      1分
理由如下：
定义域，，      2分
存在，使，故函数不是其定义域上的梦想函数．  4分
（Ⅱ），，若函数在上为梦想函数，
则在上恒成立，      5分
即在上恒成立，
因为在内的值域为，      7分
所以．      8分
（Ⅲ），由题意在恒成立，
故，即在上恒成立．
①当时，显然成立；     9分
②当时，由可得对任意恒成立.
令，则， 10分
令，
则．
当时，因为，所以在单调递减；
当时，因为，所以在单调递增．
∵，，
∴当时，的值均为负数.
∵，，
∴当时，
有且只有一个零点，且.       11分
∴当时，，所以，可得在单调递减；
当时，，所以，可得在单调递增．
则．    12分
因为，所以，
．    13分
∵在单调递增，，，
∴，
所以，即．
又因为，所以的最大整数值为．    14分