Question

20．数列{a_n}满足a₁=2016，前n项和S_n=（1+2+…+n）•a_n，对任意n∈N^*成立，则a₂₀₁₅=$\frac{6}{2017}$．

Answer 1

分析 由前n项和S_n=（1+2+…+n）•a_n=$\frac{n（n+1）}{2}$a_n，可得n≥2时，a_n=S_n-S_n，化为：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n}{n+2}$．利用“累乘求积”即可得出．

解答 解：∵前n项和S_n=（1+2+…+n）•a_n=$\frac{n（n+1）}{2}$a_n，
∴n≥2时，a_n=S_n-S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$a_n-$\frac{n（n-1）}{2}{a}_{n-1}$，
化为：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n}{n+2}$．
∴a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$•$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…$•\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$$•\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•a₁=$\frac{n}{n+2}$$•\frac{n-1}{n+1}$•$\frac{n-2}{n}$•…×$\frac{4}{6}$×$\frac{3}{5}$×$\frac{2}{4}$×2016
=$\frac{6×2016}{（n+2）（n+1）}$．
∴a₂₀₁₅=$\frac{6×2016}{2017×2016}$=$\frac{6}{2017}$．
故答案为：$\frac{6}{2017}$．

点评 本题考查了数列递推关系、“累乘求积”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．