Question

如图，椭圆C0：(a＞b＞0，a，b为常数)，动圆C1：x2＋y2＝t12，b＜t1＜a．点A1，A2分别为C0的左，右顶点，C1与C0相交于A，B，C，D四点．

(1)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程；

(2)设动圆C2：x2＋y2＝t22与C0相交于A′，B′，C′，D′四点，其中b＜t2＜a，t1≠t2．若矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等，证明：t12＋t22为定值．

 

Answer 1

（1）(x＜－a，y＜0) （2）见解析

【解析】(1)解　设A(x1，y1)，B(x1，－y1)，

又知A1(－a,0)，A2(a,0)，

则直线A1A的方程为y＝(x＋a)，①

直线A2B的方程为y＝(x－a)．②

由①②得y2＝(x2－a2)．③

由点A(x1，y1)在椭圆C0上，故．

从而y12＝b2，

代入③得(x＜－a，y＜0)．

(2)证明　设A′(x2，y2)，由矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等，得4|x1||y1|＝4|x2||y2|，

故x12y12＝x22y22．

因为点A，A′均在椭圆上，

所以b2x12＝b2x22．

由t1≠t2，知x1≠x2，所以x12＋x22＝a2．从而y12＋y22＝b2，

因此t12＋t22＝a2＋b2为定值．