Question

2．在锐角△ABC中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，已知$\frac{sinB}{sinA+sinC}$=$\frac{c+b-a}{c+b}$
（1）求角C．
（2）求函数f（A）=$\frac{-2cos2A}{1+tanA}$+1的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据正弦定理和余弦定理求出C的值即可；（2）整理f（A），根据A的范围，求出f（A）的最大值即可．

解答 解：（1）由$\frac{sinB}{sinA+sinC}$=$\frac{c+b-a}{c+b}$，
由正弦定理得：$\frac{b}{a+c}$=$\frac{c+b-a}{c+b}$，化简即为a²+b²-c²=ab，
再由余弦定理可得cosC=$\frac{{a}^{2}{+c}^{2}{-c}^{2}}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，
因为0＜C＜π，所以∠C=$\frac{π}{3}$；
（2）f（A）=1-2cos²A+2sinAcosA=$\sqrt{2}$sin（2A-$\frac{π}{4}$），
在锐角△ABC中，$\frac{π}{6}$＜A＜$\frac{π}{2}$，
$\frac{π}{12}$＜2A-$\frac{π}{4}$＜$\frac{3π}{4}$，
故当2A-$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，A=$\frac{3π}{8}$时，
f（A）_max=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了三角函数的性质，考查正弦定理和余弦定理的应用，是一道中档题．