Question

7．某市在“国际禁毒日”期间，连续若干天发布了“珍爱生命，远离毒品”的电视公益广告，期望让更多的市民知道毒品的危害性．禁毒志愿者为了了解这则广告的宣传效果，随机抽取了100名年龄阶段在[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60）的市民进行问卷调查，由此得到样本频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）求随机抽取的市民中年龄在[30，40）的人数；
（Ⅱ）试根据频率分布直方图估计市民的平均年龄；
（Ⅲ）从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机  抽取5人，再从得到的5人中抽到2人作为本次活动的获奖者，记X为年龄在[50，60）年龄段的人数，求X的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的频率，由此能求出随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的人数．
（Ⅱ）年龄段在[40，50），[50，60）的人数分别为15人，10人，从而不小于40岁的人的频数是25人，由此能示出在[50，60）年龄段抽取的人数．
（Ⅲ）由已知X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（Ⅰ）由图知，随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的频率为：
1-10（0.020+0.025+0.015+0.010）=0.3，
∴随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的人数为100×0.3=30人．
（Ⅱ）由（1）知：年龄段在[40，50），[50，60）的人数分别为100×0.15=15人，100×0.1=10人，
即不小于40岁的人的频数是25人，
所以在[50，60）年龄段抽取的人数为10×$\frac{5}{25}$=2人．
（Ⅲ）由已知X的可能取值为0，1，2，
P（X=0）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{3}{10}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{3}{5}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{1}{10}$，
所以X的分布列为：

X	0	1	2
P	$\frac{3}{10}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{10}$

∴EX=0×$\frac{3}{10}$+1×$\frac{3}{5}$+2×$\frac{1}{10}$=$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查频率分布直方图的应用，考查分层抽样的应用，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一．