Question

已知函数f(x)＝|ax－2|＋bln x(x>0，实数a，b为常数)．

(1)若a＝1，f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，求b的取值范围；

(2)若a≥2，b＝1，求方程f(x)＝在(0,1]上解的个数．

 

Answer 1

（1）[2，＋∞)．

（2）0

【解析】【解析】
(1)当a＝1时，

f(x)＝|x－2|＋bln x

①当0<x<2时，f(x)＝－x＋2＋bln x，

f′(x)＝－1＋.

由条件得－1＋≥0恒成立，即b≥x恒成立．

所以b≥2；

②当x≥2时，f(x)＝x－2＋bln x，

f′(x)＝1＋.

由条件得1＋≥0恒成立，即b≥－x恒成立．

所以b≥－2.

因为函数f(x)的图像在(0，＋∞)上不间断，综合①②得b的取值范围是[2，＋∞)．

(2)令g(x)＝|ax－2|＋ln x－，即

当0<x<时，

g(x)＝－ax＋2＋ln x－，

g′(x)＝－a＋＋.

因为0<x<，所以>，

则g′(x)>－a＋＋＝≥0，

即g′(x)>0，所以g(x)在上是单调增函数；

当x>时，g(x)＝ax－2＋ln x－，

g′(x)＝a＋＋>0，

所以g(x)在上是单调增函数．

因为函数g(x)的图像在(0，＋∞)上不间断，所以g(x)在(0，＋∞)上是单调增函数．

因为g＝ln－，

而a≥2，所以ln≤0，则g<0，

g(1)＝|a－2|－1＝a－3.

①当a≥3时，因为g(1)≥0，所以g(x)＝0在(0,1]上有唯一解，即方程f(x)＝解的个数为1；

②当2≤a<3时，因为g(1)<0，所以g(x)＝0在(0,1]上无解，即方程f(x)＝解的个数为0.