Question

20．已知函数f（x）=$\frac{2}{3}{x^3}-2a{x^2}$-3x，a∈R．证明：当|a|≤$\frac{1}{4}$时，f（x）在（-1，1）内是减函数．

Answer 1

分析 当$|a|≤\frac{1}{4}$时，证明f（x）在（-1，1）内是减函数?当$|a|≤\frac{1}{4}$时，证明f′（x）＜0在（-1，1）内恒成立．

解答 证明：∵$f（x）=\frac{2}{3}{x^3}-2a{x^2}-3x$，∴f′（x）=2x²-4ax-3是二次函数，
∵$|a|≤\frac{1}{4}$，x∈（-1，1）时，$\left\{{\begin{array}{l}{f′（-1）=4（a-\frac{1}{4}）≤0}\\{f′（1）=-4（a+\frac{1}{4}）≤0}\end{array}}\right.$，
又f′（x）是开口向上的抛物线，由二次函数的性质，
∴?x∈（-1，1），f′（x）＜0，
∴f（x）在（-1，1）内是减函数．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．