Question

已知函数g（x）=-x²+m，x∈（0，+∞），若存在[a，b]⊆（0，+∞），使得g（x）的值域也是[a，b]，则m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数的值域,子集与真子集

专题：函数的性质及应用

分析：由函数g（x）=-x²+m在x∈（0，+∞）上为减函数，可得

g(a)=b g(b)=a

，消去m的到a，b的关系，把b用含有a的代数式表示，代入g（a）=b，由0＜a＜b求出a的范围，再由关于a的方程在范围内有解列式求得m的范围．

解答： 解：函数g（x）=-x²+m为（0，+∞）上的减函数，
若存在[a，b]⊆（0，+∞），使得g（x）的值域也是[a，b]，
则

g(a)=b g(b)=a

，即

-a2+m=b -b2+m=a

，
消去m得：b=1-a，代入-a²+m=b，得a²-a+1-m=0，
∵0＜a＜b，∴a＜

1

2

．
要使方程a²-a+1-m=0在（0，

1

2

）内有解，
则

1-m＞0 ( 1 2 )2- 1 2 +1-m＜0

，解得：

3

4

＜m＜1．
∴m的取值范围是（

3

4

，1）．
故答案为：（

3

4

，1）．

点评：本题考查了函数的值域，考查了数学转化思想方法，是中档题．