Question

【题目】如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，P，Q分别是BC，C1D1 ， AD1 ， BD的中点．

（1）求证：PQ∥平面DCC1D1；
（2）求PQ的长；
（3）求证：EF∥平面BB1D1D．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图所示，连接AC，CD1，

∵P，Q分别为AD1、AC的中点，

∴PQ∥CD1，

∵CD1平面DCC1D1，PQ平面DCC1D1，

∴PQ∥平面DCC1D1

（2）解：由题意，可得：PQ= = a．

（3）证明：取CD中点G，连结EG、FG，

∵E，F分别是BC，C1D1的中点，

∴FG∥D1D，EG∥BD，

又FG∩EG=G，

∴平面FGE∥平面BB1D1D，

∵EF平面FGE，

∴EF∥平面BB1D1D

【解析】（1）连接AC，CD1 ， 由P，Q分别为AD1、AC的中点，知PQ∥CD1 ， 由此能够证明PQ∥平面DCC1D1 ． （2）利用（1）的结论，直接求解即可．（3）取CD中点G，连结EG、FG，由已知得平面FGE∥平面BB1D1D，由此能证明EF∥平面BB1D1D．