Question

11．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow{b}$=（cosα，sinα），设$\overrightarrow{m}$=$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow{b}$（t∈R）．
（1）若α=$\frac{π}{4}$，求|$\overrightarrow{m}$|最小值；
（2）若向量$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，且$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{m}$夹角的余弦值为$\frac{2}{3}$，求t的值．

Answer 1

分析 （1）根据平面向量的坐标运算与模长公式，利用二次函数求|$\overrightarrow{m}$|的最小值；
（2）根据$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$得$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$=0，根据$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{m}$的数量积公式，列出方程组求出t的值．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow{b}$=（cosα，sinα），
∴$\overrightarrow{m}$=$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow{b}$=（1+tcosα，2+tsinα）（t∈R）；
当α=$\frac{π}{4}$时，$\overrightarrow{m}$=（1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，2+$\frac{\sqrt{2}}{2}$t），
∴|$\overrightarrow{m}$|=$\sqrt{{（1+\frac{\sqrt{2}}{2}t）}^{2}{+（2+\frac{\sqrt{2}}{2}t）}^{2}}$=$\sqrt{{t}^{2}+3\sqrt{2}t+5}$=$\sqrt{{（t+\frac{3\sqrt{2}}{2}）}^{2}+\frac{1}{2}}$，
∴当t=-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$时，|$\overrightarrow{m}$|取得最小值为$\sqrt{\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）向量$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，则$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$=cosα+2sinα=0①；
又$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=（1-cosα，2-sinα），
且$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{m}$夹角的余弦值为$\frac{2}{3}$，
∴（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{m}$=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|×|$\overrightarrow{m}$|×cosθ，
即（1+tcosα）（1-cosα）+（2+tsinα）（2-sinα）=$\sqrt{{（1-cosα）}^{2}{+（2-sinα）}^{2}}$×$\sqrt{{（1+tcosα）}^{2}{+（2+tsinα）}^{2}}$×$\frac{2}{3}$②；
由①②化简得5-t²=$\frac{2}{3}$$\sqrt{6（5{+t}^{2}）}$，
整理得3t⁴-38t²+35=0，
解得t²=35或t²=$\frac{1}{3}$，
即t=±$\sqrt{35}$或t=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积与模长公式的计算问题，也考查了推理与计算能力，是中档题．