Question

17．在平面直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=sinθ+cosθ}\\{y=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}sin2θ}\end{array}\right.$（θ为参数），以O为极点，x轴非负半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线C₂的极坐标方程为ρcosφ-2ρsinφ-4=0．
（1）求曲线C₁与直线C₂的普通方程；
（2）求曲线C₁上的点到直线C₂的距离的最小值．

Answer 1

分析 （1）由曲线C₁的参数方程，则x²=1+2sinθcosθ=1+sin2θ，与$y=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}sin2θ$联立即可得出．由直线C₂的极坐标方程为ρcosφ-2ρsinφ-4=0，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosφ}\\{y=ρsinφ}\end{array}\right.$可得直角坐标方程．
（2）设P$（x，\frac{{x}^{2}}{4}）$为曲线C₁上的任意一点，则点P到直线C₂的距离d=$\frac{（x-1）^{2}+7}{2\sqrt{5}}$≥$\frac{7\sqrt{5}}{10}$，利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=sinθ+cosθ}\\{y=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}sin2θ}\end{array}\right.$（θ为参数），则x²=1+2sinθcosθ=1+sin2θ，∴x²=4y．
直线C₂的极坐标方程为ρcosφ-2ρsinφ-4=0，可得直角坐标方程：x-2y-4=0．
（2）设P$（x，\frac{{x}^{2}}{4}）$为曲线C₁上的任意一点，
则点P到直线C₂的距离d=$\frac{|x-\frac{{x}^{2}}{2}-4|}{\sqrt{5}}$=$\frac{（x-1）^{2}+7}{2\sqrt{5}}$≥$\frac{7\sqrt{5}}{10}$，当且仅当x=1，即取点P$（1，\frac{1}{4}）$时取等号．
∴曲线C₁上的点到直线C₂的距离的最小值为$\frac{7\sqrt{5}}{10}$．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．