Question

2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a．b．c，且满足2bsin（C+$\frac{π}{6}$）=a+c．
（I）求角B的大小；
（Ⅱ）若点M为BC中点，且AM=AC，求sin∠BAC．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得$\sqrt{3}$sinBsinC=cosBsinC+sinC，由于sinC≠0，可得$\sqrt{3}$sinB=cosB+1，两边平方，利用同角三角函数基本关系式可得
2cos²B+cosB-1=0，解得cosB，即可求得B的值．
（2）设AB=c、BC=a，在△ABC、△ABM中由余弦定理求出AC、AM，由条件建立方程化简后得到a与c的关系式，代入式子求出AC，在△ABC中由正弦定理求出sin∠BAC的值．

解答 解：（I）2bsin（C+$\frac{π}{6}$）=a+c
⇒2b（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinC+$\frac{1}{2}$cosC）=a+c
⇒$\sqrt{3}$bsinC+bcosC=a+c
⇒$\sqrt{3}$sinBsinC+sinBcosC=sinA+sinC=sin（B+C）+sinC=sinBcosC+cosBsinC+sinC
⇒$\sqrt{3}$sinBsinC=cosBsinC+sinC，（sinC≠0）
⇒$\sqrt{3}$sinB=cosB+1，
⇒3sin²B=cos²B+1+2cosB，
⇒2cos²B+cosB-1=0，
⇒cosB=$\frac{1}{2}$或-1（由于B∈（0，π），舍去），
⇒B=$\frac{π}{3}$
（Ⅱ）设AB=c、BC=a，
在△ABC中，由余弦定理得：AC²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac，
在△ABM中同理可得：AM2=（$\frac{a}{2}$）2+c2-2•$\frac{a}{2}$ccosB=$\frac{{a}^{2}}{4}$+c2-$\frac{1}{2}$ac，
因为AM=AC，所以：a²+c²-ac=$\frac{{a}^{2}}{4}$+c2-$\frac{1}{2}$ac，
化简得3a=2c，代入AC²=a²+c²-2accosB，可得：AC2=a2+（$\frac{3a}{2}$）2-a•$\frac{3a}{2}$=$\frac{7}{4}$a2，
解得：AC=$\frac{\sqrt{7}}{2}$a，
在△ABC中，由正弦定理得$\frac{AC}{sinB}=\frac{BC}{sin∠BAC}$，解得：sin∠BAC=$\frac{BCsinB}{AC}$=$\frac{a×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{7}a}{2}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题考查正弦定理、余弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用在解三角形中的应用，考查化简、变形能力，注意内角的范围，属于中档题．