Question

17．已知函数f（x）=e^x（$\frac{1}{3}$x³-2x²+（a+4）x-2a-4），其中a∈R，e为自然对数的底数．
（1）关于x的不等式f（x）＜-$\frac{4}{3}$e^x在（-∞，2）上恒成立，求a的取值范围；
（2）讨论函数f（x）极值点的个数．

Answer 1

分析 （1）原不等式转化为所以a＞-$\frac{1}{3}$（x-2）²，根据函数的单调性即可求出a的范围，
（2）先求导，再构造函数，进行分类讨论，利用导数和函数的极值的关系即可判断．

解答 解：（1）由f（x）＜-$\frac{4}{3}$e^x，得e^x（$\frac{1}{3}$x³-2x²+（a+4）x-2a-4）＜-$\frac{4}{3}$e^x，
即x³-6x²+（3a+12）x-6a-8＜0对任意x∈（-∞，2）恒成立，
即（6-3x）a＞x³-6x²+12x-8对任意x∈（-∞，2）恒成立，
因为x＜2，所以a＞$\frac{{x}^{3}-6{x}^{2}-8}{-3（x-2）}$=-$\frac{1}{3}$（x-2）²，
记g（x）=-$\frac{1}{3}$（x-2）²，因为g（x）在（-∞，2）上单调递增，且g（2）=0，
所以a≥0，即a的取值范围为[0，+∞）；
（2）由题意，可得f′（x）=e^x（$\frac{1}{3}$x³-x²+ax-a），可知f（x）只有一个极值点或有三个极值点．
令g（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²+ax-a，
①若f（x）有且仅有一个极值点，则函数g（x）的图象必穿过x轴且只穿过一次，即g（x）为单调递增函数或者g（x）极值同号．
（ⅰ）当g（x）为单调递增函数时，g′（x）=x²-2x+a≥0在R上恒成立，得a≥1．
（ⅱ）当g（x）极值同号时，设x₁，x₂为极值点，则g（x₁）•g（x₂）≥0，
由g′（x）=x²-2x+a=0有解，得a＜1，且x₁²-2x₁+a=0，x₂²-2x₂+a=0，
所以x₁+x₂=2，x₁x₂=a，
所以g（x₁）=$\frac{1}{3}$x₁³-2x₁²-2+ax₁-a=$\frac{1}{3}$x₁（2x₁-a）-$\frac{1}{3}$x₁+ax₁-a
=-$\frac{1}{3}$（2x₁-a）-$\frac{1}{3}$ax₁+ax₁-a=$\frac{2}{3}$[（a-1）x₁-a]，
同理，g（x₂）=$\frac{2}{3}$[（a-1）x₂-a]，
所以g（x₁）g（x₂）=$\frac{2}{3}$[（a-1）x₁-a]•$\frac{2}{3}$[（a-1）x₂-a]≥0，
化简得（a-1）²x₁x₂-a（a-1）（x₁+x₂）+a²≥0，
所以（a-1）²a-2a（a-1）+a²≥0，即a≥0，
所以0≤a＜1．
所以，当a≥0时，f（x）有且仅有一个极值点；
②若f（x）有三个极值点，则函数g（x）的图象必穿过x轴且穿过三次，同理可得a＜0．
综上，当a≥0时，f（x）有且仅有一个极值点，当a＜0时，f（x）有三个极值点．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及转化思想，考查分析解决文问题的能力，属于难题