Question

12．已知抛物线y²=8x的焦点为F，点P（x，y）为该抛物线上的动点，若点A（-2，0），则$\frac{|PA|}{|PF|}$的最大值是$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 过P作抛物线准线的垂线，垂足为M，则|PF|=|PM|，可得$\frac{|PA|}{|PF|}$=$\frac{1}{sin∠MAP}$，求出过A抛物线的切线方程，即可得出结论．

解答 解：过P作抛物线准线的垂线，垂足为M，则|PF|=|PM|，
∵抛物线y²=8x的焦点为F（-2，0），点A（-2，0）
∴$\frac{|PA|}{|PF|}$=$\frac{1}{sin∠MAP}$，
设过A抛物线的切线方程为y=k（x+2），代入抛物线方程可得k²x²+（4k²-8）x+4k²=0，
∴△=（4k²-8））²-16k⁴=0，
∴k=±1
∴$\frac{1}{sin∠MAP}$∈[1，$\sqrt{2}$]．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．