Question

下列命题中是假命题的个数是（　　）
①?α，β∈R，使cos（α+β）=cosα+sinβ；
②?a＞0，函数f（x）=ln²x+lnx-a有零点
③若

a

，

b

是两个非零向量，则“|

a

+

b

|=|

a

-

b

|”是“

a

⊥

b

”的充要条件；
④若函数f（x）=|2^x-1|，则?x₁，x₂∈[0，1]且x₁＜x₂，使得f（x₁）＞f（x₂）．

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：①可举β=0，即可判断；
②令f（x）=0，由a＞0，通过判别式为1+4a＞0即可判断；
③将|

a

+

b

|=|

a

-

b

|两边平方，化简，再由向量垂直的条件得

a

⊥

b

，由充分必要条件的定义即可判断；
④若函数f（x）=|2^x-1|，当0＜x＜1时，f（x）=2^x-1，函数为增函数，由函数的单调性的定义，即可判断．

解答： 解：①可举β=0，则cos（α+β）=cosα+sinβ成立，故①对；
②令f（x）=0，则ln²x+lnx-a=0，判别式为1+4a，a＞0，即判别式大于0，故方程有实根，故②对；
③若

a

，

b

是两个非零向量，则“|

a

+

b

|=|

a

-

b

|”?“

a

2+

b

2+2

a

•

b

=

a

2+

b

2-2

a

•

b

”?

a

•

b

=0?

a

⊥

b

，故③对；
④若函数f（x）=|2^x-1|，当0＜x＜1时，f（x）=2^x-1，函数为增函数，故④错．
故假命题的个数为1．
故选B．

点评：本题考查简易逻辑的基础知识，考查存在性命题和全称性命题的真假，注意运用举反例，同时考查函数的单调性，属于基础题．