Question

4．$f（x）=\sqrt{2}sin（{x+φ}）-a+{e^{-x}}$，$φ∈（{0，\frac{π}{2}}）$，已知f（x）的图象在（0，f（0））处的切线与x轴平行或重合．
（1）求φ的值；
（2）若对?x≥0，f（x）≤0恒成立，求a的取值范围；
（3）利用如表数据证明：$\sum_{k=1}^{157}{sin\frac{kπ}{314}＜106}$．

${e^{\frac{π}{314}}}$	${e^{-\frac{π}{314}}}$	${e^{\frac{78π}{314}}}$	${e^{-\frac{78π}{314}}}$	${e^{\frac{79π}{314}}}$	${e^{-\frac{79π}{314}}}$
1.010	0.990	2.182	0.458	2.204	0.454

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，根据f′（0）=0，求出φ的值即可；
（2）求出函数的导数，根据函数的单调性求出a的范围即可；
（3）根据三角函数的性质累加即可．

解答 解：（1）$f'（x）=\sqrt{2}cos（{x+φ}）-{e^{-x}}，f'（0）=\sqrt{2}cosφ-1=0$，则$φ=\frac{π}{4}$；
（2）$f（x）=\sqrt{2}sin（{x+\frac{π}{4}}）-a+{e^{-x}}≤0$，即$g（x）=（{\sqrt{2}sin（{x+\frac{π}{4}}）-a}）{e^x}+1≤0$恒成立，
g（0）=-a+2≤0，则a≥2，
$g'（x）=（{\sqrt{2}sin（{x+\frac{π}{4}}）-a+\sqrt{2}cos（{x+\frac{π}{4}}）}）{e^x}=（{2cosx-a}）{e^x}≤0$，
则g（x）递减．
所以a≥2时，$g（x）=（{\sqrt{2}sin（{x+\frac{π}{4}}）-a}）{e^x}+1≤g（0）=-a+2≤0$；
（3）证明：$\sum_{k=1}^{157}{sin\frac{kπ}{314}}=1+\sum_{k=1}^{78}{（{sin\frac{kπ}{314}+sin\frac{{（{157-k}）π}}{314}}）}$
=$1+\sum_{k=1}^{78}{\sqrt{2}sin（{\frac{kπ}{314}+\frac{π}{4}}）＜1}+\sum_{k=1}^{78}{（{2-{e^{-\frac{kπ}{314}}}}）}=157-\sum_{k=1}^{78}{{e^{-\frac{kπ}{314}}}}$
=$157-\frac{{{e^{-\frac{π}{314}}}（{1-{e^{-\frac{78π}{314}}}}）}}{{1-{e^{-\frac{π}{314}}}}}=157-\frac{{1-{e^{-\frac{78π}{314}}}}}{{{e^{\frac{π}{314}}}-1}}＜157-\frac{1-0.4585}{0.0105}=105\frac{3}{7}＜106$．

点评 本题考查了三角函数的性质，考查函数的单调性问题，考查不等式的证明，是一道综合题．