Question

13．如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，BC⊥CD，平面SCD⊥平面ABCD，SC=SD=CD=AD=2AB，M，N分别为SA，SB的中点，E为CD中点，过M，N作平面MNPQ分别与BC，AD交于点P，Q，若$\overrightarrow{DQ}$=t$\overrightarrow{DA}$．
（1）当t=$\frac{1}{2}$时，求证：平面SAE⊥平面MNPQ；
（2）是否存在实数t，使得二面角M-PQ-A的平面角的余弦值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$？若存在，求出实数t的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）推导出AE⊥CD，PQ⊥AE，从而SE⊥面ABCD，由此能证明面MNPQ⊥面SAE．
（2）以E为原点，ED，EA，ES直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出t的值．

解答 （本小题满分12分）
证明：（1）E为CD中点，∴四边形ABCE为矩形，
∴AE⊥CD，
当t=$\frac{1}{2}$时，Q为AD中点，PQ∥CD，所以PQ⊥AE，
∵平面SCD⊥平面ABCD，SE⊥CD，∴SE⊥面ABCD，
∵PQ?面ABCD，∴PQ⊥SE，∴PQ⊥面SAE，
所以面MNPQ⊥面SAE．
（2）如图，以E为原点，ED，EA，ES直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示坐标系；
设ED=a，则M（（1-t）a，（$\sqrt{3}t$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）a，$\frac{\sqrt{3}}{2}$a），E（0，0，0），A（0，$\sqrt{3}$，0），
Q（（1-t）a，$\sqrt{3}ta$，0），$\overrightarrow{MQ}$=（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，$\frac{\sqrt{3}}{2}a$），
面ABCD一个方向向量为$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
设平面MPQ的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{MQ}=（1-t）ax+（\sqrt{3}t-\frac{\sqrt{3}}{2}）ay+\frac{\sqrt{3}}{2}az=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}=x=0}\end{array}\right.$，取z=2，得$\overrightarrow{n}$=（0，$\frac{1}{t-\frac{1}{2}}$，2），
平面ABCD的法向量为$\overrightarrow{p}$=（0，0，1）
∵二面角M-PQ-A的平面角的余弦值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴由题意：cosθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{p}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{p}|}$=$\frac{2}{\sqrt{（\frac{1}{t-\frac{1}{2}}）^{2}+4}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
解得t=$\frac{1}{4}$或t=$\frac{3}{4}$，
由图形知，当t=$\frac{3}{4}$时，二面角M-PQ-A为钝二面角，不合题意，舍去
综上：t=$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．