Question

18．设向量$\overrightarrow{a}$=（-1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{b}$=（cosωx，sinωx），已知函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的图象关于直线x=$\frac{π}{3}$对称，其中ω∈（-$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，锐角B满足f（$\frac{B}{2}$+$\frac{π}{6}$）=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，b=$\sqrt{2}$，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据数量积公式得出f（x）的表达式，令f（$\frac{π}{3}$）=±1及ω的范围求出ω；
（2）根据f（$\frac{B}{2}$+$\frac{π}{6}$）的值求出sinB，cosB，利用余弦定理求出ac的最大值，代入面积公式S=$\frac{1}{2}$acsinB求出最大面积．

解答 解：（1）f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-cosωx+$\sqrt{3}$sinωx=2sin（ωx-$\frac{π}{6}$），
∵f（x）的图象关于直线x=$\frac{π}{3}$对称，∴$\frac{ωπ}{3}$-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+kπ，解得ω=2+3k，k∈Z．
∵ω∈（-$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$），∴ω=2．
∴f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
（2）∵f（$\frac{B}{2}$+$\frac{π}{6}$）=2sin（B+$\frac{π}{6}$）=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，∴sin（B+$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{5}}{3}$．∴cos（B$+\frac{π}{6}$）=$\frac{2}{3}$，
∴sinB=sin[（B+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]=$\frac{\sqrt{5}}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{15}-2}{6}$．cosB=cos[（B+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]=$\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{5}}{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{5}}{6}$．
∵cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-2}{2ac}$，∴a²+c²=2accosB+2≥2ac，∴ac≤$\frac{1}{1-cosB}$．
∴S=$\frac{1}{2}$acsinB≤$\frac{1}{2}$•$\frac{sinB}{1-cosB}$=$\frac{\sqrt{15}-2}{2（6-2\sqrt{3}-\sqrt{5}）}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，三角函数恒等变换，余弦定理，基本不等式等相关知识，属于中档题．