Question

12．在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcosC=（3a-c）cosB．
（1）求cosB的值；
（2）若$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=2，且b=$2\sqrt{2}$，求a和c的值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理把题设等式中的边换成角的正弦，进而利用两角和公式化简整理求得cosB的值．
（2）由 $\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=2，可得 ac=6，再由余弦定理可得 a²+c²=12，由此求得边a，c的值．

解答 解：（1）在△ABC中，∵bcosC=（3a-c）cosB，
∴由正弦定理可得：sinBcosC=（3sinA-sinC）cosB，
∴3sinA•cosB-sinC•cosB=sinBcosC，
∴化为：3sinA•cosB=sinC•cosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA．
∵在△ABC中，sinA≠0，
∴cosB=$\frac{1}{3}$．
（2）由 $\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=2，b=2$\sqrt{2}$，可得，a•c•cosB=2，即 ac=6．…①．
再由余弦定理可得 b²=8=a²+c²-2ac•cosB=a²+c²-$\frac{2ac}{3}$，即 a²+c²=12，…②．
由①②求得a=c=$\sqrt{6}$．

点评 本题以三角形为载体，主要考查了正弦定理、余弦定理的运用，考查两角和公式．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力，属于中档题．